Diffusions en milieu incompressible

Le mouvement d'un liquide a des conséquences sur la vitesse de propagation d'une substance qui est dissoute dans le liquide et sur sa répartition. Dans des processus chimiques la répartition homogène du catalysateur est importante pour l'efficacité de la réaction. Il est alors important de savoir combien de temps il faut pour que la substance soit répandue de façon homogène dans le liquide. Souvent le champs de vélocité du liquide en mouvement n'est pas explicitement connu; ce qui alors rend le traitement de cette question par des moyens numériques impossible. Le fait que bon nombre de liquides en mouvement se comportent de façon incompressible nous permet alors d'obtenir des théorèmes généraux sur la diffusion de la substance dans le liquide. Un des indicateurs de la vitesse avec laquelle le processus approche la stationarité est le trou spectral du générateur de la diffusion. Lors de ma coopération avec le groupe de travail de Hwang C.R. et Sheu S.J. de l'Academia Sinica nous avons calculé la taille asymptotique du trou spectral quand un profil de vélocité fixé est accéléré. Les mêmes méthodes peuvent être utilisées pour accélérér des générateurs de nombres aléatoires par (comme la méthode de Markov Monte Carlo).

Homogénisation périodique de diffusions avec sauts

L'étude de diffusions sur de grandes échelles permet souvent de simplifier leur structure tout en conservant certaines de leurs propriétés essentielles pour les applications, comme par exemple la récurrence ou la transience. L'homogénisation est une méthode qui consiste à démontrer que, en passant à des échelles de plus en plus grandes, un processus avec une structure spatialement périodique ressemble de plus en plus à un processus homogène. Dans le cas de diffusions continues on retrouve en limite un mouvement Brownien avec une structure de covariance déterminée par les coefficients de la diffusion d'origine (voir Bensoussan, Lions et Papanicolaou: Asymptotic Analysis of periodic Structures). Dans mes propres travaux je m'intéresse au cas de diffusions avec sauts. Dans cette situation les processus que l'on retrouve en limite sont des processus de Lévy stables.

Les extrêmes de suites aléatoires

Pour la prévention de sinistres occasionnés par des catastrophes naturelles il est important d'avoir des informations sur la probabilité d'être confronté à des événements d'ampleur exceptionnelle. Par exemple il est nécessaire pour la construction d'un barrage de protection de connaître les probabilités avec
lesquelles une crue d'une certaine envergure peut survenir. Pour s'assurer que la probabilité de défaillance en cas d'évènement majeur est négligeable il faut prevoir des situations qui n'ont pas encore été observées auparavant. La théorie des extrêmes essaie de donner des réponses à ce problème. Elle a été developpée pour des suites d'événements indépendants et de mêmes lois dans les années quarantes par Gnedenko. Le cas de suites non-indépendantes est un sujet de recherche actuel en théorie des extrêmes. Je m'interesse en particulier à des suites dépendantes obtenues par l'observation d'une marche aléatoire dans une scénerie aléatoire et par l'observation d'itérations aléatoires.

L'accumulation de risques en assurances

Les nouvelles règles de risk-management imposées par l'accord international Solvency II prévoient une évaluation des risques de ruine au niveau de toute l'entreprise. Pour ceci il faut en principe connaître la loi jointe des pertes de toutes les différents produits que vend l'assurance. La loi des pertes dues à un seul type de police peut souvent être évaluée grâce à un grand nombre de données historiques. Par contre il existe souvent très peu de données qui permettent de prévoir les pertes accumulées par plusieurs produits différents. La méthode souvent utilisée dans ce cas consiste à estimer une copule dans une familie paramétrique dont le choix reste souvent inexpliqué. Pour avoir une sécurité supplémentaire il est, dans ce cas, préférable de faire aussi une analyse du pire des cas en utilisant les données sur la loi jointe de façon robuste. Au cours d'une coopération avec M. Stolz de la Ruhr-Universität Bochum nous étudions la possibilité de faire une analyse du pire des cas en partant d'une estimation de la covariance de la loi jointe. Nos méthodes sont basées sur la théorie du transport optimal.